Разделы сайта
Выбор редакции:
- Чем снять галлюцинации. Как лечить галлюцинации. Отклонения в психике у ребенка
- Созависимость от пьющего члена семьи: как избавиться Как лечить созависимость от алкоголика
- Как избавиться от созависимости от алкоголика Ошибки созависимых алкоголиков которые
- Почему возникают галлюцинации от алкоголя и каких последствий можно ожидать?
- Начальные признаки шизофрении у детей
- Правила оформления маршрутного листа
- Правило оформления маршрутного листа
- Виды альтернативной энергетики
- Ценности в жизни человека
- Зачем нам нужен речевой этикет рассуждение
Реклама
Расстояние от заданной точки до данной прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости |
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости Пример 1. Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3). Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6. уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости. Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы: а) точка ; б) ненулевой вектор (рис.4.8,а). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства. Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости. 1) Общее уравнение плоскости P . Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему). Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение: ‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат, ‑ плоскость параллельна оси X , X , ‑ плоскость параллельна оси Y , ‑ плоскость не параллельна оси Y , ‑ плоскость параллельна оси Z , ‑ плоскость не параллельна оси Z . Докажите эти утверждения самостоятельно. Уравнение
(6) легко выводится из уравнения (5).
Действительно, пусть точка лежит
на плоскости P
.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнениюВычитая
из уравнения (5) уравнение (7) и группируя
слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим
теперь два вектора с координатами соответственно.
Из формулы (6) следует, что их скалярное
произведение равно нулю. Следовательно,
вектор перпендикулярен
вектору Начало
и конец последнего вектора находятся
соответственно в точках которые
принадлежат плоскости P
.
Следовательно, вектор перпендикулярен
плоскости P
.
Расстояние от точкидо
плоскости P
,
общее уравнение которой определяется
по формулеДоказательство
этой формулы полностью аналогично
доказательству формулы расстояния
между точкой и прямой (см. рис. 2). Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения Угол f
между
двумя плоскостями равен углу между их
нормальными векторами (см. рис. 3) и может,
поэтому, быть вычислен по формуле (11) Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический . При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде. После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях). При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости. Данная статья рассказывает о теме « расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач. Yandex.RTB R-A-339285-1 Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней. Пусть имеется прямая a и точка М 1 , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b , расположенную перпендикулярно относительно прямой a . Точка пересечения прямых возьмем за Н 1 . Получим, что М 1 Н 1 является перпендикуляром, который опустили из точки М 1 к прямой a . Определение 1 Расстоянием от точки М 1 к прямой a называется расстояние между точками М 1 и Н 1 . Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра. Определение 2 Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой. Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере. Если взять точку Q , лежащую на прямой a , не совпадающую с точкой М 1 , тогда получим, что отрезок М 1 Q называется наклонной, опущенной из М 1 к прямой a . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М 1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой. Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М 1 Q 1 Н 1 , где М 1 Q 1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M 1 H 1 < M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии. Когда при нахождении расстояния от точки до прямойможно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки. Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М 1 к прямой a . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния. Если на плоскости имеется точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a , а необходимо найти расстояние M 1 H 1 , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их. Первый способ Если имеются координаты точки H 1 , равные x 2 , y 2 , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 . Теперь перейдем к нахождению координат точки Н 1 . Известно, что прямая линия в О х у соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой a . Прямую обозначим буковой b . Н 1 является точкой пересечения прямых a и b , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых. Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M 1 (x 1 , y 1) до прямой a проводится согласно пунктам: Определение 3
Второй способ Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки дот заданной прямой на плоскости. Теорема Прямоугольная система координат имеет О х у имеет точку M 1 (x 1 , y 1) , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x = x 1 , y = y 1 , значит, что M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Доказательство Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , тогда n → = (cos α , cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , где радиус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M 1 H 1 . Необходимо показать проекции М 2 и Н 2 точек М 1 и Н 2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n → = (cos α , cos β) , а числовую проекцию вектора обозначим как O M 1 → = (x 1 , y 1) к направлению n → = (cos α , cos β) как n p n → O M 1 → . Вариации зависят от расположения самой точки М 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже. Результаты фиксируем при помощи формулы M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . После чего приводим равенство к такому виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, чтобы получить n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , которая является произведением в координатной форме вида n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Значит, получаем, что n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отсюда следует, что M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорема доказана. Получаем, что для нахождения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий: Определение 4
Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости. Пример 1 Найти расстояние от точки с координатами M 1 (- 1 , 2) к прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 . Решение Применим первый способ для решения. Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b , которая проходит через заданную точку M 1 (- 1 , 2) , перпендикулярно прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 . Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные (4 , - 3) . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М 1 , принадлежит прямой b . Определим координаты направляющего вектора прямой b . Получим, что x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0 Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н 1 . Преобразования выглядят таким образом: 4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5 Из выше написанного имеем, что координаты точки Н 1 равны (- 5 ; 5) . Необходимо вычислить расстояние от точки М 1 к прямой a . Имеем, что координаты точек M 1 (- 1 , 2) и H 1 (- 5 , 5) , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5 Второй способ решения. Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4 x - 3 y + 35 = 0 . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальное уравнение будет вида - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 . По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x = - 1 , y = 2 . Тогда получаем, что 4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5 Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (- 1 , 2) к заданной прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 имеет значение - 5 = 5 . Ответ: 5 . Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления. Пример 2 На плоскости имеется прямоугольная система координат О х у с точкой M 1 (8 , 0) и прямой y = 1 2 x + 1 . Найти расстояние от заданной точки до прямой. Решение Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе. Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение - 1 , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y = 1 2 x + 1 имеет значение 2 . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (8 , 0) . Имеем, что y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 . Переходим к нахождению координат точки Н 1 , то есть точкам пересечения y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1 . Составляем систему уравнений и получаем: y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4) Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M 1 (8 , 0) к прямой y = 1 2 x + 1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Вычислим и получим, что M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 . Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 , тогда значение нормирующего множителя будет - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Произведем вычисление от точки M 1 8 , 0 к прямой вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаем: M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5 Ответ: 2 5 . Пример 3 Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (- 2 , 4) к прямым 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 . Решение Получаем уравнение нормального вида прямой 2 x - 3 = 0: 2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0 После чего переходим к вычислению расстояния от точки M 1 - 2 , 4 к прямой x - 3 2 = 0 . Получаем: M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2 Уравнение прямой y + 1 = 0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид - y - 1 = 0 . Переходим к вычислению расстояния от точки M 1 (- 2 , 4) к прямой - y - 1 = 0 . Получим, что оно равняется - 4 - 1 = 5 . Ответ: 3 1 2 и 5 . Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям О х и О у. В прямоугольной системе координат у оси О у имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида х = 0 , а О х - y = 0 . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M 1 x 1 , y 1 до прямых. Это производится, исходя из формул M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже. Пример 4 Найти расстояние от точки M 1 (6 , - 7) до координатных прямых, расположенных в плоскости О х у. Решение Так как уравнение у = 0 относится к прямой О х, можно найти расстояние от M 1 с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что 6 = 6 . Так как уравнение х = 0 относится к прямой О у, то можно найти расстояние от М 1 к этой прямой по формуле. Тогда получим, что - 7 = 7 . Ответ: расстояние от М 1 к О х имеет значение 6 , а от М 1 к О у имеет значение 7 . Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , необходимо найти расстояние от точки A до прямой a . Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М 1 к прямой, где точка на прямой называется Н 1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М 1 на прямую a . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма. Первый способ Из определения имеем, что расстояние от точки М 1 , расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М 1 Н 1 , тогда получим, что при найденных координатах точки Н 1 , тогда найдем расстояние между M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , исходя из формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 . Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М 1 на прямую a . Это производится следующим образом: Н 1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку. Значит, алгоритм определения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов: Определение 5
Второй способ Из условия имеем прямую a , тогда можем определить направляющий вектор a → = a x , a y , a z с координатами x 3 , y 3 , z 3 и определенной точки М 3 , принадлежащей прямой a . При наличии координат точек M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 можно произвести вычисление M 3 M 1 → : M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3) Следует отложить векторы a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 из точки М 3 , соединим и получим фигуру параллелограмма. М 1 Н 1 является высотой параллелограмма. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже. Имеем, что высота М 1 Н 1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M 1 H 1 . Обозначим площадь параллелограмма за букву S , находится по формуле, используя вектор a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площади имеет вид S = a → × M 3 M 1 → . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , являющимся длиной вектора a → = (a x , a y , a z) , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M 1 H 1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → . Для нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма: Определение 6
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространствеПример 5Найти расстояние от точки с координатами M 1 2 , - 4 , - 1 к прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Решение Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ , проходящей через М 1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида: 2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0 Нужно найти координаты точки H 1 , являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогла получаем систему уравнений вида: x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 Необходимо вычислить систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по методу Крамера, тогда получаем, что: ∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0 Отсюда имеем, что H 1 (1 , - 1 , 0) . M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11 Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a → = 2 , - 1 , 5 является направляющим вектором прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо вычислить длину по формуле a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 . Понятно, что прямая x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пересекает точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , отсюда имеем, что вектор с началом координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) и его концом в точке M 1 2 , - 4 , - 1 является M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Находим векторное произведение a → = (2 , - 1 , 5) и M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) . Мы получаем выражение вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k → получаем, что длина векторного произведения равняется a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 . Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим: M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11 Ответ: 11 . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа. Взаимное расположение двух прямыхТот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут : 1) совпадать; 2) быть параллельными: ; 3) или пересекаться в единственной точке: . Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке . Как определить взаимное расположение двух прямых?Начнём с первого случая: Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают. Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: . Второй случай, когда прямые параллельны: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но . В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных : Однако совершенно очевидно, что . И третий случай, когда прямые пересекаются: Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства Так, для прямых составим систему: Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны. Вывод: прямые пересекаются В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка: Пример 1 Выяснить взаимное расположение прямых: Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых: а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .
На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями: Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =) б) Найдем направляющие векторы прямых : Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо. Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом . Выясним, справедливо ли равенство : Таким образом, в) Найдем направляющие векторы прямых : Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: . Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому: Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число). Таким образом, прямые совпадают. Ответ : Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент: Как построить прямую, параллельную данной?За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник. Пример 2 Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку . Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ». Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения : Ответ : Геометрия примера выглядит незатейливо: Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах: 1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны). 2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа. Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок. Пример 3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока. С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы: Как найти точку пересечения двух прямых?Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений Как найти точку пересечения прямых? Решить систему. Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости. Пример 4 Найти точку пересечения прямых Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический. Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа: Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа. Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему: Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений? Ответ : Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы. Пример 5 Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются. Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо: Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание. Полное решение и ответ в конце урока: Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока: Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
|
Новое
- Созависимость от пьющего члена семьи: как избавиться Как лечить созависимость от алкоголика
- Как избавиться от созависимости от алкоголика Ошибки созависимых алкоголиков которые
- Почему возникают галлюцинации от алкоголя и каких последствий можно ожидать?
- Начальные признаки шизофрении у детей
- Правила оформления маршрутного листа
- Правило оформления маршрутного листа
- Виды альтернативной энергетики
- Ценности в жизни человека
- Зачем нам нужен речевой этикет рассуждение
- Описание зимней природы. Природа зимой. Короткие рассказы про зиму Что можно написать про зиму