Разделы сайта
Выбор редакции:
- Признание гражданина утратившим право пользования жилым помещением в судебном порядке
- Военные пенсионеры за россию и её вооруженные силы Осенний призыв в армию
- Виды и размер стипендий студентам в россии
- Перечень работ, входящих в капитальный ремонт многоквартирного дома
- Консервированная вишня - аккомпанемент к мясу
- Фаршированный сазан в духовке в фольге — как готовить сазана в духовке на домашней кухне
- Тушеная утка с яблоками и не только Тушить утку кусочками в духовке
- Гуляш из свинины в томатно-сметанном соусе
- Диетические сырники из творога без муки в духовке – рецепт с фото
- Как приготовить кукурузу в духовке Как готовить кукурузу в духовке
Реклама
Как решать неравенства с модулями примеры. Решение неравенств с модулями |
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное. Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака. Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д. (Подробнее - в разделе «Модуль числа»). Уравнения с модулем. Пример 1 . Решить уравнение |10 х - 5| = 15. Решение . В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 10х
- 5 = 15 Решаем: 10х
= 15 + 5 = 20 х
= 20: 10 х
= 2 Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1. Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2. Решение . Поскольку модуль - число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно: х ≥ -2. Составляем два уравнения: 2х
+ 1 = х
+ 2 Решаем: 2х
+ 1 = х
+ 2 2х
- х
= 2 - 1 х
= 1 Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения. Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1. Пример 3
. Решить уравнение
|х
+ 3| - 1 Решение . Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю - значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое - не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде: |х + 3| - 1 = 4 · (х - 1), |х + 3| - 1 = 4х - 4, |х + 3| = 4х - 4 + 1, |х + 3| = 4х - 3. Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше. 4х - 3 ≥ 0 4х ≥ 3 х ≥ 3/4 Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4. В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их: х
+ 3 = 4х
- 3 х
+ 3 = 4х
- 3 х
- 4х
= -3 - 3 х
= 2 Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения. У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов - число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения. Ответ : х = 2. Неравенства с модулем. Пример 1 . Решить неравенство | х - 3| < 4 Решение . Правило модуля гласит: |а | = а , если а ≥ 0. |а | = -а , если а < 0. Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х - 3 ≥ 0 и х - 3 < 0. 1) При х
- 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля: 2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением: -(х - 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем: -х + 3 < 4. Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств: х
- 3 ≥ 0 х
- 3 < 0 Решим их: х
≥ 3 х
< 3 Итак, у нас в ответе объединение двух множеств: 3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3. Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х
больше -1, но меньше 7. Ответ : -1 < х < 7. Или: х ∈ (-1; 7). Дополнения . 1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1). Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа - к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их. При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ: 1 < х < 7. 2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде: 4 < х - 3 < 4. Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства. 4 + 3 < х < 4 + 3 1 < х < 7. Пример 2 . Решить неравенство | х - 2| ≥ 5 Решение . Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ. Ответ : -3 ≥ х ≥ 7. Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком: 5 ≥ х - 2 ≥ 5 5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2 Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7. Или: х ∈ [-3; 7] Пример решен. Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0 Решение . Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля: 6х 2 - х - 2 ≤ 0. Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля: 6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0. Раскрываем скобки: 6х 2 + х - 2 ≤ 0. Таким образом, мы получили две системы уравнений: 6х
2 - х
- 2 ≤ 0 6х
2 + х
- 2 ≤ 0 Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю. Начнем с первого: 6х 2 - х - 2 = 0. Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ: х 1 = -1/2, х 2 = 2/3. Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х
≥ 0: Теперь решим второе квадратное уравнение: 6х 2 + х - 2 = 0. Его корни: х 1 = -2/3, х 2 = 1/2. Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2. Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа. Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3. Или: х ∈ [-2/3; 2/3]. Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса. Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:) Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока. Что уже нужно знатьКапитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:
Начнём со второго пункта. Определение модуляТут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:
Записывается это так: \[\left| x \right|=\left\{ \begin{align} & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end{align} \right.\] Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников. Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).
Если начертить картинку, то получится что-то типа этого: Графическое определение модуля Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной . Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование. Решение неравенств. Метод интерваловТеперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов. На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):
Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:) 1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида: \[\left| f \right| \lt g\] В роли функций $f$ и $g$ может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Примеры таких неравенств: \[\begin{align} & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| {{x}^{2}}-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end{align}\] Все они решаются буквально в одну строчку по схеме: \[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end{align} \right. \right)\] Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте $f$ или $g$ метод всё равно сработает. Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля. Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:
Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:
Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим. 2. Неравенства вида «Модуль больше функции»Выглядят они так: \[\left| f \right| \gt g\] Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая: \[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin{align} & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end{align} \right.\] Другими словами, мы рассматриваем два случая:
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.
Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:
Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман): Разница между пересечением и объединением множествВ переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников. Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.
Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше. 3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида: \[\left| f \right| \gt \left| g \right|\] Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Что делать с этими задачами? Просто помните:
Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: \[\begin{align} & {{\left(\left| f \right| \right)}^{2}}={{f}^{2}}; \\ & {{\left(\sqrt{f} \right)}^{2}}=f. \\\end{align}\] Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата: \[\sqrt{{{f}^{2}}}=\left| f \right|\ne f\] Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:
Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить. Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:) 4. Метод перебора вариантовА что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска? Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:
Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:
Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:
Помните об этом, когда проверяете свои решения. Методы (правила) раскрытия неравенств с модулями заключаются в последовательном раскрытии модулей, при этом используют интервалы знакопостоянства подмодульных функций. В конечном варианте получают несколько неравенств из которых и находят интервалы или промежутки, которые удовлетворяют условию задачи. Перейдем к решению распространенных на практике примеров. Линейные неравенства с модулямиПод линейными понимаем уравнения, в которых переменная входит в уравнение линейно. Пример 1. Найти решение неравенства Решение:
В каждом из этих интервалов решим заданное неравенство. Для этого прежде всего составляем графические рисунки областей знакопостоянства подмодульных функций. Их изображают в виде областей с знаками каждой из функций
На первом интервале раскрываем модули Умножаем обе части на минус единицу, при этом знак в неравенстве поменяется на противоположный. Если Вам до этого правила трудно привыкнуть, то можете перенести каждую из частей за знак, чтобы избавиться минуса. В конечном варианте Вы получите Пересечением множества x>-3 с областью на которой решали уравнения будет интервал (-3;-2) . Для тех кому легче искать решения графически можете рисовать пересечение этих областей Общие пересечение областей и будет решением. При строгом неровности края не включают. При нестрогое проверяют подстановкой. На втором интервале получим Сечением будет интервал (-2;-5/3). Графически решение будет иметь вид На третьем интервале получим Данное условие не дает решений на искомой областе. Поскольку два найдены решения (-3;-2)
и (-2;-5/3)
граничат точкой x=-2
, то проверяем и ее. Таким образом точка x=-2
является решением. Общее решение с учетом этого будет выглядеть (-3;5/3).
Пример 2.
Найти решение неравенства Решение:
Точки разбивают действительную ось на четыре интервала. Раскрываем модули согласно интервалов знакопостоянства и решаем неравенства. 1) На первом интервале все подмодульные функции отрицательные, поэтому при раскрытии модулей меняем знак на противоположный. Пересечением найденных значений x
с рассматриваемым интервалом будет множество точек 2) На промежутке между точками x=2 и x=3 первая подмодульная функция положительная, вторая и третья – отрицательные. Раскрывая модули, получим неравенство, которое в пересечении с интервалом, на котором решаем, дает одно решение – x=3. 3) На промежутке между точками x=3 и x=4 первая и вторая подмодульные функции положительные, а третья – отрицательная. На основе этого получим Это условие показывает, что целый промежуток будет удовлетворять неравенство с модулями. 4) При значениях x>4 все функции знакоположительные. При раскрытии модулей их знак не меняем. Найденное условие в пересечении с интервалом дает следующее множество решений Поскольку неравенство решено на всех интервалах, то остается найти общее всех найденных значений x.
Решением будут два интервала На этом пример решен. Пример 3.
Найти решение неравенства Решение:
Подмодульная функция x-1 преобразуется в нуль в точке x=1 . При меньших значениях за 1 она отрицательная и положительная для x>1 . На основе этого раскрываем внутренний модуль и рассматриваем неравенство на каждом из интервалов. Сначала рассмотрим интервал от минус бесконечности до единицы Подмодульная функция равна нулю в точке x=-4
. При меньших значениях она знакоположительная, при больших – отрицательная. Раскроем модуль для x<-4:
В пересечении с областью, на которой рассматриваем получим множество решений Следующим шагом раскрываем модуль на интервале (-4;1)
С учетом области раскрытия модуля получим интервал решений ЗАПОМНИТЕ: если Вы получили в подобных неровностях с модулями два интервала, граничащих общей точкой, то, как правило, она также является решением. Для этого стоит лишь провести проверку. В данном случае подставляем точку x=-4.
Итак x=-4
является решением. Подмодульная функция отрицательная для x<6.
Данное условие в сечении с интервалом (1;6) дает пустое множество решений. Для x>6
получим неравенство Также решая получили пустое множество. Неравенства с модулями, содержащие квадратные уравненияПример 4.
Найти решение неравенства Решение:
Осталось определить области, где квадратная функция положительная. Для этого определяем корни квадратного уравнения Для удобства подставляем точку x=0,
которая принадлежит интервалу (-2;1/2).
Функция отрицательная в этом интервале, значит решением будут следующие множества x
Здесь скобками обозначены края областей с решениями, это сделано сознательно, учитывая следующее правило. ЗАПОМНИТЕ: Если неравенство с модулями, или простое неравенство является строгим, то края найденных областей не являются решениями, если же неравенства нестроги ()то края являются решениями (обозначают квадратными скобками). Это правило использует многие преподаватели: если задано строгое неравенство, а Вы при вычислениях запишете в решении квадратную скобку ([,]) – они автоматом посчитают это за неправильный ответ. Также при тестировании, если задано нестрогое неравенство с модулями, то среди решений ищите области с квадратными скобками. На интервале (-3;0)
раскрывая модуль меняем знак функции на противоположный Учитывая область раскрытия неравенства, решение будет иметь вид Вместе с предыдущей областью это даст два полуинтервала Пример 5.
Найти решение неравенства Решение:
Находим дискриминант уравнения Подставляя точку ноль, выясняем, что на промежутке [-1/9;1]
квадратичная функция отрицательна, следовательно промежуток является решением. Далее раскрываем модуль при x>3
решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами. Математика является символом мудрости науки , образцом научной строгости и простоты , эталоном совершенства и красоты в науке. Российский философ, профессор А.В. Волошинов
Неравенства с модулем Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования. Основные понятия и свойства Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом: К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения: И . Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени. Кроме того , если , где , то и Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем: Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство . Теорема 2. Равенство равносильно неравенству . Теорема 3. Равенство равносильно неравенству . Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа. Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и . Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7. Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и . Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем. Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств И (1) Доказательство. Так как , то Отсюда вытекает справедливость (1). Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной. Теорема доказана. Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств И (3) Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если . Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и . Теорема доказана. Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля». Решение неравенств с модулем Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье. Пример 1. Решить неравенство . (4) Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая. 1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или . Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4). 2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет. 3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4). Ответ: , . Пример 2. Решить неравенство . Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или . Однако , поэтому или . Пример 3. Решить неравенство . (5) Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и . Ответ: , . Пример 4. Решить неравенство . (6) Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или . Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и . Ответ: , Пример 5. Решить неравенство . (8) Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом: Или . Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8). Ответ: . Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим . Пример 6. Решить неравенство . (9) Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом: Или Так как , то или . Ответ: . Пример 7. Решить неравенство . (10) Решение. Так как и , то или . В этой связи и неравенство (10) принимает вид Или . (11) Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или . Ответ: . Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или . Пример 8. Решить неравенство . (12) Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или . Ответ: . Пример 9. Решить неравенство . (13) Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или . Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или . Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида . Пример 10. Решить неравенство . (14) Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство . Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений . Ответ: любое число. Пример 11. Решить неравенство . (15) Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид . Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Пример 12. Решить неравенство . (16) Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует . Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного . Следовательно , решением неравенства (16) являются . Пример 13. Решить неравенство . (17) Решение. Согласно теореме 1 можно записать (18) Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств или Пример 14. Решить неравенство . (19) Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и . Ответ: , . Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы. 1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с. 2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с. 3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с. Остались вопросы? Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь . сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. |
Новое
- Военные пенсионеры за россию и её вооруженные силы Осенний призыв в армию
- Виды и размер стипендий студентам в россии
- Перечень работ, входящих в капитальный ремонт многоквартирного дома
- Консервированная вишня - аккомпанемент к мясу
- Фаршированный сазан в духовке в фольге — как готовить сазана в духовке на домашней кухне
- Тушеная утка с яблоками и не только Тушить утку кусочками в духовке
- Гуляш из свинины в томатно-сметанном соусе
- Диетические сырники из творога без муки в духовке – рецепт с фото
- Как приготовить кукурузу в духовке Как готовить кукурузу в духовке
- Мидии, маринованные по-корейски