Разделы сайта
Выбор редакции:
- Фуросемид Мочегонные таблетки для спортсменов
- Как повысить тестостерон у мужчин — препараты, продукты
- Вся информация по вопросу: как поднять тестостерон у мужчины в домашних условиях?
- Повышенный тестостерон у мужчин: симптомы, причины и последствия
- Пероральные сахароснижающие препараты: список, принцип их действия Пероральные гипогликемические препараты
- Василий Андреевич Жуковский: биография
- Русские мужские имена, начинающиеся на буквы м, н Православные имена на букву м
- История мощей святителя николая мирликийского
- Храм апостолов петра и павла на новой басманной
- Приметы и обряды на пасху должен знать каждый Примета почему не поднялся кулич
Реклама
Как умножаются дроби с разными знаменателями. Умножение дробей |
Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли. Как умножить целое число на дробь – немного терминовЕсли вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию. Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим. Как умножить целое число на дробьПравило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых. СокращениеВо втором примере полученную дробь можно сократить. Неправильные дробиНо, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь. Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых. Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю. Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение. В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных. По определению имеем: Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробейЕсли в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше. Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем: Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров). Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной. Сокращение дробей «на лету»Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:
По определению имеем: Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось. Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился. Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:
Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел. Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны. ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂 Умножение и деление дробей.Внимание! Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть: Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь… Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.: Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например: В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например: Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки: Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например: В первом случае (выражение слева): Во втором (выражение справа): Чувствуете разницу? 4 и 1/9! А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа: то делим-умножаем по порядочку, слева направо ! И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15: Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую. Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше! 1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме. 2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям. 3. Все дроби сокращаем до упора. 4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!). Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы. Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь. Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы. Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны. 0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25. А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет. Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы. В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков! Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый . Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде. Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям. Если Вам нравится этот сайт.Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!) А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными. Правило 1. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Правило 2. Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей 2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем. Правило 3. Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Правило 4. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. Пример 1. Вычислите Пример 2. Вычислите Пример 3. Вычислите Пример 4. Вычислите Математика. Другие материалы Возведение числа в рациональную степень. (Возведение числа в натуральную степень. (Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)Признаки делимости (Лунгу Алена)Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’ Умножение дробейУмножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах. Умножение обыкновенной дроби на дробьЭто наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей . Чтобы умножить дробь на дробь , надо: Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления. Умножение дроби на натуральное числоЧтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения. Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть. Умножение смешанных чиселЧтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей. Другой способ умножения дроби на натуральное числоИногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число. Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним. Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число. Деление дроби на числоКак разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу. Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число - дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель - данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так: Отсюда делаем вывод: чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче: при делении дроби на число число идет в знаменатель. Выполнить деление дроби на число: Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3. При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8. При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7. Умножение и деление дробейВ прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю. Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части. Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем. Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую. Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение. В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных. Задача. Найдите значение выражения: По определению имеем: Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробейЕсли в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше. Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов: Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем: Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров). Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной. Сокращение дробей «на лету»Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры: Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось. Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился. Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите: Так делать нельзя! Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел. Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так: Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны. Деление дробей.Деление дроби на натуральное число.Примеры деления дроби на натуральное числоДеление натурального числа на дробь.Примеры деления натурального числа на дробьДеление обыкновенных дробей.Примеры деления обыкновенных дробейДеление смешанных чисел.
Примеры деления смешанных чисел1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16 2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7 Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список! Добро пожаловать на OnlineMSchool
. Дроби. Умножение и деление дробей.Умножение обыкновенной дроби на дробь.Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения). Формула умножения дробей: Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты. Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!! Деление обыкновенной дроби на дробь.Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются. Формула деления обыкновенных дробей: Умножение дроби на натуральное число.Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную. Деление дробей с участием натурального числа.Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например: Умножение смешанных дробей.Правила умножения дробей (смешанных): Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей. Второй способ умножения дроби на натуральное число.Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число. Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения. Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число. Многоэтажные дроби.В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример: Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки: Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться. Обратите внимание, например: При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая: Практические советы при умножении и делении дробей: 1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме. 2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей. 3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно. 4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки. Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно. Умножение обыкновенной дроби на дробь.Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей. \(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\) Рассмотрим пример: \(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3. Умножение дроби на число.Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) . Воспользуемся этим правилом при умножении. \(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\) Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь. Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример: \(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\) Умножение смешанных дробей.Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем. Пример: Умножение взаимно обратных дробей и чисел.Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Пример: Вопросы по теме:
Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Как умножать смешанные дроби?
Как умножить число на дробь?
Пример №1:
Решение: Пример №2:
Решение: Пример №3:
Пример №4:
Решение: Пример №5:
Решение: б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны. в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1. Пример №6:
Решение: Пример №7:
Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут. |
Новое
- Как повысить тестостерон у мужчин — препараты, продукты
- Вся информация по вопросу: как поднять тестостерон у мужчины в домашних условиях?
- Повышенный тестостерон у мужчин: симптомы, причины и последствия
- Пероральные сахароснижающие препараты: список, принцип их действия Пероральные гипогликемические препараты
- Василий Андреевич Жуковский: биография
- Русские мужские имена, начинающиеся на буквы м, н Православные имена на букву м
- История мощей святителя николая мирликийского
- Храм апостолов петра и павла на новой басманной
- Приметы и обряды на пасху должен знать каждый Примета почему не поднялся кулич
- Выпекаем коржи для торта Как сделать обычный корж торта